Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．動點P從點A出發(fā)，沿AB以每秒5個單位長度的速度向終點B運動．當點P不與點A重合時，過點P作PD⊥AC于點D、PE∥AC，過點D作DE∥AB，DE與PE交于點E．設點P的運動時間為t秒．

（1）線段AD的長為　 　．（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）當點E落在BC邊上時，求t的值．

（3）設△DPE與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式．

（4）若線段PE的中點為Q，當點Q落在△ABC一邊垂直平分線上時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）t的值為1；（3）S＝；（4）t的值為或或1．

【解析】

（1）解直角三角形求出AB，根據(jù)cosA==求解即可．
（2）首先證明四邊形APED是平行四邊形，由=，構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）分兩種情形：①如圖1中，當0＜t≤1時，②如圖3中，當1＜t≤2時，分別求解即可．
（4）分三種情形：①如圖4-1中，當點Q落在線段AC的垂直平分線MN上時．②如圖4-2中，當點Q落在線段AB的垂直平分線MN上時．③如圖4-3中，當點Q落在線段BC的垂直平分線上時，分別求解即可．

解：（1）如圖1中，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝＝10，

∵PD⊥AC，

∴cosA＝=，

∴＝，

∴AD＝4t，

故答案為4t．

（2）如圖2中，當點E落在BC上時，

∵DE∥AB，PE∥AD，

∴四邊形APED是平行四邊形，

∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，

∴=，

∴＝

解得t＝1，

∴當點E落在BC邊上時，t的值為1．

（3）①如圖1中，當0＜t≤1時，重疊部分是△PDE，

∵PE∥AD，

∴∠DPE＝∠ADP＝90°，

∵DE＝5t，PE＝4t，

∴PD＝3t，

∴S＝PDPE＝×3t×4t＝6t2．

②如圖3中，當1＜t≤2時，S＝（MN+PD）PN＝ [3t+3t﹣（10﹣5t）]（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．

綜上所述，S＝．

（4）①如圖4﹣1中，當點Q落在線段AC的垂直平分線MN上時，

由題意：，可得，解得t＝．

②如圖4﹣2中，當點Q落在線段AB的垂直平分線MN上時，

由題意：，可得，解得t＝

③如圖4﹣3中，當點Q落在線段BC的垂直平分線上時，AP＝PB，此時t＝1，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或1．