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14.如圖1,已知MN是⊙O的切線,且點(diǎn)為點(diǎn)C,AB是⊙O的弦,且AB∥MN.
(1)求證:AC=BC;
(2)如圖2,點(diǎn)D、E分別為^AB^AC上的點(diǎn),且^DB=^AE,連接BE,CD,弦CD分別與BE、AB相交于點(diǎn)G、K.求證:∠EGC=∠A;
(3)如圖3,在(2)條件下,連接BD、DA,弦DA的延長(zhǎng)線與弦CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,若AF=310,BC=102,EC=52,求線段BK的長(zhǎng).

分析 (1)如圖1中,連接CO且延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)H,只要證明CH垂直平分線段AB即可解決問題.
(2)利用等量代換,首先證明∠CGE=∠ABC,再由∠ABC=∠BAC即可證明.
(3)如圖3中,連接AE,過點(diǎn)A作AQ⊥FC,垂足為Q,過點(diǎn)K作KP⊥FC于P.首先證明AF=AE=310,F(xiàn)Q=QE,設(shè)FQ=m,則有AQ2=(3102-m2=(1022-(m+522,求出AQ在Rt△AQF中,tan∠F=AQFQ=6232=2=tan∠ABC,在Rt△ACQ中,tan∠ACQ=AQCQ=6282=34=tan∠BCD,在Rt△BPK中,tan∠KBP=KPBP=2,設(shè)KP=6n,BP=3n,在Rt△CPK中,tan∠KCP=KPCP=34,可得CP=8n,由BP+CP=BC,可得3n+8n=102,求出n即可解決問題.

解答 (1)證明:如圖1中,連接CO且延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)H,

∵M(jìn)N是⊙O的切線,OC為半徑,
∴OC⊥MN,
∴∠OCM=90°,
∵AB∥MN,
∴∠BHC=∠OCM=90°,
∴OH⊥AB,
∵AB是弦,
∴AH=BH,
∴AC=BC.

(2)證明:如圖2中,

^AE=^DB,
∴∠ABE=∠DCB,
∵∠EGC=∠DCB+∠EBC,∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠EGC=∠ABC,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∴∠EGC=∠A.

(3)解:如圖3中,連接AE,過點(diǎn)A作AQ⊥FC,垂足為Q,過點(diǎn)K作KP⊥FC于P.

∵BC=102,
∴AC=BC=102,
^AE=^DB
∴∠ACF=∠DCB,
∴∠FCD=∠ACB,
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠F=180°-∠ADC-∠FCD=180°-∠ABC-∠ACB=∠BAC=∠ABC,
∵∠AEF=∠ABC,
∴∠AFE=∠AEF,
∴AF=AE=310
∴FQ=QE,設(shè)FQ=m,則有AQ2=(3102-m2=(1022-(m+522,
解得m=32
∴AQ=3102322=62,
在Rt△AQF中,tan∠F=AQFQ=6232=2=tan∠ABC,
在Rt△ACQ中,tan∠ACQ=AQCQ=6282=34=tan∠BCD,
在Rt△BPK中,tan∠KBP=KPBP=2,設(shè)KP=6n,BP=3n,
在Rt△CPK中,tan∠KCP=KPCP=34,
∴CP=8n,
∵BP+CP=BC,
∴3n+8n=102
∴n=10211
∴KB=3n2+6n2=35n=301011

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考?jí)狠S題.

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