分析 (1)如圖1中,連接CO且延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)H,只要證明CH垂直平分線段AB即可解決問題.
(2)利用等量代換,首先證明∠CGE=∠ABC,再由∠ABC=∠BAC即可證明.
(3)如圖3中,連接AE,過點(diǎn)A作AQ⊥FC,垂足為Q,過點(diǎn)K作KP⊥FC于P.首先證明AF=AE=3√10,F(xiàn)Q=QE,設(shè)FQ=m,則有AQ2=(3√10)2-m2=(10√2)2-(m+5√2)2,求出AQ在Rt△AQF中,tan∠F=AQFQ=6√23√2=2=tan∠ABC,在Rt△ACQ中,tan∠ACQ=AQCQ=6√28√2=34=tan∠BCD,在Rt△BPK中,tan∠KBP=KPBP=2,設(shè)KP=6n,BP=3n,在Rt△CPK中,tan∠KCP=KPCP=34,可得CP=8n,由BP+CP=BC,可得3n+8n=10√2,求出n即可解決問題.
解答 (1)證明:如圖1中,連接CO且延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)H,
∵M(jìn)N是⊙O的切線,OC為半徑,
∴OC⊥MN,
∴∠OCM=90°,
∵AB∥MN,
∴∠BHC=∠OCM=90°,
∴OH⊥AB,
∵AB是弦,
∴AH=BH,
∴AC=BC.
(2)證明:如圖2中,
∵^AE=^DB,
∴∠ABE=∠DCB,
∵∠EGC=∠DCB+∠EBC,∠ABC=∠ABE+∠EBC,
∴∠EGC=∠ABC,
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC,
∴∠EGC=∠A.
(3)解:如圖3中,連接AE,過點(diǎn)A作AQ⊥FC,垂足為Q,過點(diǎn)K作KP⊥FC于P.
∵BC=10√2,
∴AC=BC=10√2,
∵^AE=^DB,
∴∠ACF=∠DCB,
∴∠FCD=∠ACB,
∵∠ADC=∠ABC,
∴∠F=180°-∠ADC-∠FCD=180°-∠ABC-∠ACB=∠BAC=∠ABC,
∵∠AEF=∠ABC,
∴∠AFE=∠AEF,
∴AF=AE=3√10,
∴FQ=QE,設(shè)FQ=m,則有AQ2=(3√10)2-m2=(10√2)2-(m+5√2)2,
解得m=3√2,
∴AQ=√(3√10)2−(3√2)2=6√2,
在Rt△AQF中,tan∠F=AQFQ=6√23√2=2=tan∠ABC,
在Rt△ACQ中,tan∠ACQ=AQCQ=6√28√2=34=tan∠BCD,
在Rt△BPK中,tan∠KBP=KPBP=2,設(shè)KP=6n,BP=3n,
在Rt△CPK中,tan∠KCP=KPCP=34,
∴CP=8n,
∵BP+CP=BC,
∴3n+8n=10√2,
∴n=10√211.
∴KB=√(3n)2+(6n)2=3√5n=30√1011.
點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考?jí)狠S題.
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