Question

如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點A（3，6）．

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

（1）y=2x, （2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值2（3）當時，E點只有1個，當時，E點有2個

【解析】解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。

 ∴y=2x。

∴。

（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值，

理由如下：

∴線段QM與線段QN的長度之比是一個定值。

（3）如圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC=。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC�！��！郞F=。

∴點F（，0）。

設點B（x，），過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF。

∴，即。

解得x₁=6，x₂=3（舍去）�！帱cB（6，2）。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4�！郃B=5。

在△ABE與△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∴頂點為。

如圖3，

當時，OE=x=，此時E點有1個；

當時，任取一個m的值都對應著兩個x值，此時E點有2個．

∴當時，E點只有1個，當時，E點有2個。