Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°．直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于

 

．

Answer 1

分析：過D作DH⊥BC于H，①當(dāng)AE=BE時，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出BE和CH，由勾股定理求出AB，進(jìn)一步求出CE，根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理求出CF=EF，根據(jù)勾股定理求出即可；②當(dāng)AB=AE=4

2

時，由勾股定理求出BE，進(jìn)一步求出CE，根據(jù)等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理求出EF=CE，由勾股定理求出CF即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB、∠FEC，進(jìn)一步求出∠CFE=∠FEC，求出CF=CE即可．

解答：解：過D作DH⊥BC于H，
有三種情況：

如圖所示：①當(dāng)AE=BE時，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴BE=CH=

1

2

（BC-AD）=4，
由勾股定理得：AB=4

2

，
∴CE=BC-BE=6，
∵∠B=∠BAE=45°，
∴∠AEB=90°，
∴∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠C，
∴∠EFC=180°-45°-45°=90°，
∴由勾股定理得：CF=EF=3

2

，
②當(dāng)AB=AE=4

2

時，
由勾股定理求得：BE=8，
∴CE=BC-BE=2，
同法可求出∠FEC=90°，∠EFC=45°=∠C，
由勾股定理得：CF=

EF2+CE2

=2

2

，
③

如圖當(dāng)AB=BE=4

2

時，
∠AEB=∠BAE=

1

2

（180°-∠B）=67.5°，
∴∠FEC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∵∠C=45°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠FEC=67.5°=∠FEC，
∴CF=CE=BC-BE=10-4

2

，
故答案為：3

2

或2

2

或10-4

2

．

點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能求出CE的長是解此題的關(guān)鍵．