Question

8．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．點N為拋物線上一個動點，過點N作x軸的垂線交直線AB于M，作NE∥x軸交AB于點E，設點N的橫坐標為x，△NEM的周長為L．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）當點N為直線AB上方的拋物線上動點（不與A、B兩點重合），求L與x的函數(shù)關系式，并求L的最大值；
（3）當點N在拋物線上運動時，△MNE與△OAB是否會全等？若全等，請直接寫出點N的坐標；若不全等，請說出理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點A，B坐標，再代入拋物線解析式即可解決；
（2）根據(jù)已知用x表示出MN，EN，EM的長度，列出二次函數(shù)求最大值即可；
（3）先分析三角形全等，只需要EN=OB=4，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，
令x=0，則y=2，令y=0，則x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=-16+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如圖：

由題意知：N（x，$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$），
∵NM∥y軸，
∴點M（x，-$\frac{1}{2}$x+2），MN=$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
由直線AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2知，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∵EN∥OB，
∴∠NEM=∠ABO，
∴tan∠NEM=$\frac{1}{2}$，
∴EN=2MN=-2x²+8x，
EM=$-\sqrt{5}{x}^{2}+4\sqrt{5}x$，
∴L=MN+EN+EM=$-（3+\sqrt{5}{）x}^{2}+（12+4\sqrt{5}）x$，
∴當x=2時，L取最大值是12+$4\sqrt{5}$，
（3）由題意知：∠ENM=∠AOB=90°，
由（2）知：∠NEM=∠ABO，
要使△MNE與△OAB全等，只需EN=OB=4，
∴|-2x²+8x|=4，
∴-2x²+8x=4，或-2x²+8x=-4，
解得：x=2+$\sqrt{2}$，或x=2-$\sqrt{2}$，或x=2+$\sqrt{6}$，或x=2-$\sqrt{6}$，
可求點N的坐標為：（2+$\sqrt{2}$，$3-\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（2-$\sqrt{2}$，$3+\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（$2+\sqrt{6}$，$-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（$2-\sqrt{6}$，$-1+\frac{\sqrt{6}}{2}$）

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會求函數(shù)與坐標軸交點坐標，會用坐標表示線段，并結合題意列出關系式準確求解是解題的關鍵．