Question

（2013•賀州）直線y=

1

2

x-2與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C．拋物線的圖象經(jīng)過(guò)A、C和點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）AC為定值，當(dāng)DE最大時(shí)，△ACD的面積最大，因此只需要求出△ACD面積的最大值即可．如解答圖所示，作輔助線，利用S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG求出S_△ACD的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，并進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和DE的最大值．

解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=

1

2

x-2中，令x=0，得y=-2；令y=0，得x=4，
∴A（4，0），C（0，-2）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵點(diǎn)A（4，0），B（1，0），C（0，-2）在拋物線上，
∴

16a+4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得a=-

1

2

，b=

5

2

，c=-2．
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．

（2）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），則y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=2

5

．
如答圖1所示，連接CD、AD．
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
則FD=x，DG=4-x，OF=AG=y，F(xiàn)C=y+2．

S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG
=

1

2

（AG+FC）•FG-

1

2

FC•FD-

1

2

DG•AG
=

1

2

（y+y+2）×4-

1

2

（y+2）•x-

1

2

（4-x）•y
=2y-x+4
將y=-

1

2

x²+

5

2

x-2代入得：S_△ACD=2y-x+4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x=2時(shí)，△ACD的面積最大，最大值為4．
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，∴D（2，1）．
∵S_△ACD=

1

2

AC•DE，AC=2

5

，
∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí)，高DE最大，
則DE的最大值為：

4

1 2 AC

=

4

1 2 ×2 5

=

4 5

5

．
∴當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），最大距離為

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最值、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．第（2）問(wèn)有多種解法，同學(xué)們可以從不同角度嘗試與探究．