Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BF，過C作⊙O的切線CE交BF于E，且CE⊥BF．
（1）求證：AC=CF；
（2）若CF=2

3

，D在直徑AB上，AC=AD，∠CAB=30°，CD延長(zhǎng)線交⊙O于M，求CM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC⊥CE，推出OC∥BF，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出即可；
（2）連接BC，作直徑CN，連接MN，求出∠ACD=30°，∠ACD=75°，求出∠MCN=45°，求出直徑AB，得出CD長(zhǎng)，在Rt△CMN中得出cos45°=

CM

4

，求出即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CE是⊙O的切線，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥BF，
∴OC∥BF，
∵OA=OB，
∴AC=CF；

（2）解：連接BC，作直徑CN，連接MN，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=CF=2

3

，∠CAB=30°，
∴AB=

AC

cos30°

=4，
即CD=4，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=30°，
∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠NCM=75°-30°=45°，
∵CN是直徑，
∴∠CMN=90°，
在Rt△CMN中，cos45°=

CM

4

，
CM=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．