如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上的點,F(xiàn)是AC延長線上一點,連接BF,過C作⊙O的切線CE交BF于E,且CE⊥BF.
(1)求證:AC=CF;
(2)若CF=2
3
,D在直徑AB上,AC=AD,∠CAB=30°,CD延長線交⊙O于M,求CM的長.
考點:切線的性質,相似三角形的判定與性質
專題:
分析:(1)連接OC,根據(jù)切線的性質得出OC⊥CE,推出OC∥BF,根據(jù)平行線分線段成比例定理推出即可;
(2)連接BC,作直徑CN,連接MN,求出∠ACD=30°,∠ACD=75°,求出∠MCN=45°,求出直徑AB,得出CD長,在Rt△CMN中得出cos45°=
CM
4
,求出即可.
解答:(1)證明:連接OC,
∵CE是⊙O的切線,
∴OC⊥CE,
∵CE⊥BF,
∴OC∥BF,
∵OA=OB,
∴AC=CF;

(2)解:連接BC,作直徑CN,連接MN,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC=CF=2
3
,∠CAB=30°,
∴AB=
AC
cos30°
=4,
即CD=4,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAB=30°,
∵∠CAD=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠NCM=75°-30°=45°,
∵CN是直徑,
∴∠CMN=90°,
在Rt△CMN中,cos45°=
CM
4

CM=2
2
點評:本題考查了切線性質,平行線的判定,平行線分線段成比例定理,解直角三角形,圓周角定理,等腰三角形的性質的應用,主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力.
練習冊系列答案
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2
x-1
+
ax+1
1-x
=3
中的系數(shù)a,則使該分式方程的解為正整數(shù)的概率是
 

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(1)請你以AC的中點為對稱中心,畫出△AOC的中心對稱圖形△ABC,此圖與原圖組成的四邊形OABC的形狀是
 
,并說明理由;
(2)如圖2,已知D(-
1
2
,0),過A,C,D的拋物線與(1)所得的四邊形OABC的邊BC交于點E,求拋物線的解析式及點E的坐標;
(3)在問題(2)的圖形中,點P為拋物線上一點(與點E不重合),且S△PAC=S△ACE,求點P的坐標.

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2
,則正方形ABDE的邊長為
 

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解方程:
(1)4x-15=9;                      
(2)4-x=3(2-x).

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在△ABC中,D是AC的中點,E,F(xiàn)分別是BC的三等分點,AE,AF分別交BD于M,N兩點,則BM:MN:ND等于( 。
A、3:2:1
B、4:2:1
C、5:2:1
D、5:3:2

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如圖,一粒子從原點出發(fā),依次運動到(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,2),(-1,2),(-2,2),(-2,1)…按圖所示在與x軸和y軸平行的方向來回運動,每分鐘運動1個單位.那么在17分鐘這一時刻,這個粒子所處的位置是
 

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