Question

【題目】設二次函數(shù)(為正常數(shù))的圖象與軸交于A、B兩點（A在B的左側），與軸交于C點．直線過M(0，m)（且）且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E．二次函數(shù)的圖象關于直線的對稱圖象與y軸交于點P．設直線PD與軸交點為Q ，則：

⑴ 求A、C兩點的坐標；

⑵ 求的值（用含m的代數(shù)式表示）；

⑶ 是否存在實數(shù)m，使？若能，則求出相應的m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】⑴ 點C的坐標為（0，2）．點A坐標為（-1，0）．

⑵ AD=．

⑶當>1時，才存在實數(shù)m使得∽，從而有，此時；當0<1時，不存在實數(shù)m使得．

【解析】試題分析：（1）令y=0，可得A點的坐標，令x=0，可得C點的坐標；（2）根據(jù)A、C兩個點的坐標求出直線AC的解析式，再求出點D的坐標，然后求出對應線段的長度，最后利用勾股定理即可求出AD；（3）要使CD·AQ=PQ·DE，因為∠PQA=∠PDE=∠CDE，所以只須△PQA∽△CDE，即須△PQA∽△PDE，分0 <m<1，1<m<2兩個情況討論求解即可．

試題解析：

⑴ 令y=0，可得：0=-（x+1）（x－a），

解得x1=-1，x2=a，

∵A在B的左側，a＞0，

∴A（-1,0），

令x=0，可得：y=-×（-a）=2，

∴C（0，2）．

故點C的坐標為（0，2），點A坐標為（-1，0）．

（2）

作DF⊥AB于點F，

∵A（-1，0），C（0，2），

∴直線AC解析式為：y=2x+2，

令y=m，m=2x+2，x=－1，

∴D（－1，m），

∴FO=1－，

∴AF=，

∵DF=m，

∴AD=m．

⑶連接AP、PE，

要使CD·AQ=PQ·DE，∵∠PQA=∠PDE=∠CDE，

∴只須△PQA∽△CDE，即須△PQA∽△PDE．

當0 <m<1時，點P在x軸下方，此時∠PQA顯然為鈍角，

而∠PDE顯然為銳角，故此時不能有△PQA∽△CDE．

當1<m<2時，△PQA∽△PDE時，A、P、E三點共線，

∴△APO∽△EPM，

∴=,

∵B（a，0），C（0,2），

∴直線BC解析式為：y=-x+2，

令=，=-+2，=a－，

∴E（a－，m），

∴ME= a－,

∵CO=2，MO=m，

∴PM=CM=2－m，

∴PO=2m－2，

∴=，

∴ ，而此時1<m<2，

∴，

∴a>1．

綜上所述，當a>1時，才存在實數(shù)m使得△PQA∽△CDE，從而有CD·AQ=PQ·DE，此時；當0<a≤1時，不存在實數(shù)使得CD·AQ=PQ·DE．