Question

（1）如圖1，拋物線y=ax²（a≠0）的頂點(diǎn)為P，C、D是拋物線上的兩點(diǎn)，CA、DB分別垂直于x軸，垂足為A、B，且PA=AB，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為b，在直線PC上是否存在一點(diǎn)M，使得△MBD是以BD為底的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若將（1）中“拋物線y=ax²（a≠0）”改為“拋物線y=ax²-2amx+am²（a≠0）”，其他條件不變，試探究（1）中的問(wèn)題．

Answer 1

分析：兩個(gè)小題的解法是一致的，首先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)拋物線的解析式，求出C、D的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，如果△MBD是以BD為底的等腰三角形，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)必為D點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，將其代入直線PC的解析式中進(jìn)行求解即可．需要注意的是若直線BD與直線PC的交點(diǎn)為BD的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M是不符合題意的，因?yàn)榇藭r(shí)D、B、M三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形．

解答：解：（1）由題意，知：P（0，0），A（b，0），B（2b，0），C（b，ab²），D（2b，4ab²）；
設(shè)直線PC的解析式為：y=kx，則有：
bk=ab²，k=ab，
故直線PC：y=abx；
易知BD的中點(diǎn)為：（2b，2ab²），
當(dāng)y=2ab²時(shí)，abx=2ab²，即x=2b；
故直線PC經(jīng)過(guò)BD的中點(diǎn)，
所以在直線PC上不存在符合條件的M點(diǎn)．

（2）由于y=ax²-2amx+am²=a（x-m）²，同（1）可得：
P（m，0），A（b，0），B（2b-m，0），C（b，a（x-m）²），D（2b-m，4a（b-m）²）；
設(shè)直線PC的解析式為：y=kx+h，
則有：

mk+h=0 bk+h=a(b-m)2

，
解得

k=a(b-m) b=-am(b-m)

；
故直線PC：y=a（b-m）x-am（b-m）；
BD的中點(diǎn)為（2b-m，2a（b-m）²），
當(dāng)y=2a（b-m）²時(shí)，a（b-m）x-am（b-m）=2a（b-m）²，x=2b-m；
即直線PC經(jīng)過(guò)BD的中點(diǎn)，
故直線PC上不存在符合條件的M點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)意義、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，雖然大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是未知數(shù)，但是只要按照常規(guī)思維細(xì)心求解即可．