Question

大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題：1+2+3+…+n=？經(jīng)過研究，這個(gè)問題的結(jié)論是1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來研究一個(gè)類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？觀察下面三個(gè)特殊的等式：
1×2=

1

3

(1×2×3-0×1×2)，
2×3=

1

3

(2×3×4-1×2×3)，
3×4=

1

3

(3×4×5-2×3×4)，
將這三個(gè)等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20．
根據(jù)上述規(guī)律，請你計(jì)算：1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)

；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)

．

Answer 1

分析：觀察已知的三個(gè)等式，得出一般性的規(guī)律，根據(jù)得出的規(guī)律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一項(xiàng)，抵消合并后即可得到結(jié)果；依此類推得到1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
總結(jié)出一般性規(guī)律，將各項(xiàng)變形后，去括號合并即可得到結(jié)果．

解答：解：根據(jù)閱讀材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+…+

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=

1

3

n（n+1）（n+2）；
依此類推：1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

1

4

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）

點(diǎn)評：此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，其中弄清題意，得出一般性的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．