Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點A（8，0），與y軸交于點B（0，6）．動點P自原點O向A點運動，速度為1個單位/秒；動點Q自原點O沿折線O-B-A運動，速度為2個單位/秒；P、Q兩點同時運動，設(shè)運動時間為t秒，P點到達(dá)A點時終止運動．
（1）當(dāng)Q點在線段BA上運動時，請直接用t表示Q點的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t＞3時，求tan∠QPO的值．
（3）在整個運動過程中是否存在這樣的t值，使得△OQP是直角三角形？如果存在，請求出t的取值范圍或相應(yīng)的t值；如果不存在，請說明理由．
（4）當(dāng)t為何值時，△OPQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形？請直接寫出此時的t值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，設(shè)Q（a，b），利用直角三角函數(shù)的定義來求點Q的坐標(biāo)．
（2）如圖1，當(dāng)t＞3時，點Q在線段AB上．在Rt△PQD中，利用∠QDO的正切函數(shù)的定義來解答即可；
（3）需要分類討論：①當(dāng)點Q在OB邊上運動時，△OQP總是直角三角形；②當(dāng)點Q在邊BA上運動時，如圖1，只有∠OQP=90°，然后利用（2）中的正切函數(shù)值來求t的取值；
（4）需要分類討論：①當(dāng)OQ=OP時，以求得t值；②當(dāng)OQ=OP時，如圖3，來求t的值．
解答：解：（1）如圖1，點Q在線段AB上，設(shè)Q（a，b）．過點Q作QC⊥OB于點C，過點Q作QD⊥OA于點D．
∵點A（8，0），點B（0，6）．
∴OB=6，OA=8．
∴在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理求得AB=10．
∵CQ∥OA，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2，即=，
∴=，
解得，a=．
又∵sin∠2==，即=，
解得b=，
∴Q點坐標(biāo)為（）；

（2）如圖1，當(dāng)t＞3時，點Q在線段AB上．
由（1）知，OD=a=
∴PD=OP-OD=t-a=，
又由（1）知，QD=b=，
∴tan∠QPO===2，即tan∠QPO=2；

（3）當(dāng)點Q在OB邊上運動時，△OQP總是直角三角形，此時0＜t≤3；
當(dāng)點Q在邊BA上運動時，如圖1，只有∠OQP=90°，過Q點作QH⊥OA，垂足為H，
則tan∠QPO=tan∠OQH==2，
∴：=2，
解得t=6．
∴當(dāng)0＜t≤3或t=6時，△OQP是直角三角形；

（4）當(dāng)OQ=PQ時，易求t=；
當(dāng)OQ=OP時，如圖3，過O點作OM⊥PQ，垂足為M；過Q點作QH⊥OP，垂足為H．
設(shè)HP=x，則QH=2x，QP=x，QM=PM=，OM=x，OP=，OH=，
∴OH：OP=3：5，：t=3：5解得t=4.8．
當(dāng)t=或4.8時，△OPQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．注意“數(shù)形結(jié)合”與“分類討論”的數(shù)學(xué)思想在本題解答過程中的應(yīng)用．