Question

如圖，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE交BD于點(diǎn)O，AE交CD于點(diǎn)P，BD交CE于點(diǎn)Q，連接OC，下列結(jié)論中：①PE=BQ，②∠AOD=60°，③EO=BQ，④OC+OE=OB，⑤OC平分∠AOB，正確的結(jié)論有

 

（只填序號(hào)）．

Answer 1

分析：已知△ACD，△CBE是等邊三角形，可證△ACE≌△DCB．從而△BCQ≌△ECP，則PE=BQ①對(duì)，故EO≠BQ．③錯(cuò)．
由上可知∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC，從而可推出△BCQ∽△E0Q，則∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②對(duì)．
因∠POQ=120°，又因?yàn)椤鰾CQ∽△E0Q，所以

OQ

CQ

=

QE

BQ

，因?yàn)椤螼QC=∠BQE，所以△OQC∽△EQB，所以∠COQ=∠CEB=60°，∠POC=60°，則OC平分∠AOB⑤對(duì)．
連接PQ，過(guò)點(diǎn)P做OP=OM，則△OPM為等邊三角形，所以∠OMC=60°，故∠PMC=120°，又因?yàn)椤螾OQ=120°，所以∠PMC=∠POQ，易證PQ∥BC，所以∠OQP=∠DBC，因?yàn)椤螪BC=∠AEC，所以∠OQP=∠AEC，因?yàn)椤螼PC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°所以△CPO∽△EPC，∠PEC=∠PCO，∠PCO=∠OQP．又因?yàn)镺P=PM，可知△OPQ≌△MPC，所以MC=OQ．因此OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④對(duì)．

解答：解：∵△ACD，△CBE是等邊三角形
∴BC=CE，CD=AC，∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠CBD，∠PCE=∠QCB，BC=EC
∴△BCQ≌△ECP
∴PE=BQ①對(duì)，故EO≠BQ．③錯(cuò)
由上可知，∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC
∴△BCQ∽△E0Q
∴∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②對(duì)．
∴∠POQ=120°
∵△BCQ∽△E0Q
∴

OQ

CQ

=

QE

BQ

∵∠OQC=∠BQE
∴△OQC∽△EQB
∴∠COQ=∠CEB=60°
∴∠POC=60°
∴OC平分∠AOB⑤對(duì)．
連接PQ，過(guò)點(diǎn)P做OP=OM．
∵∠POM=60°
∴△OPM為等邊三角形
∴∠OMC=60°
∴∠PMC=120°
又∵∠POQ=120°
∴∠PMC=∠POQ，易證PQ∥BC
∴∠OQP=∠DBC
∵∠DBC=∠AEC
∴∠OQP=∠AEC
∵∠OPC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°
∴△CPO∽△EPC
∴∠PEC=∠PCO
∴∠PCO=∠OQP
又∵OP=PM
∴△OPQ≌△MPC
∴MC=OQ
∴OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④對(duì)．
故①②④⑤是正確的．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)等邊三角形時(shí)，常見(jiàn)的兩對(duì)三角形對(duì)應(yīng)全等等知識(shí)點(diǎn)應(yīng)牢固掌握．得到其中的相似并且利用相似是本題的難點(diǎn)．