Question

（2011•虹口區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點M是AD的中點．點E是邊AB上的一動點，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交BC的延長線于點G，連接EG，交邊DC于點Q．設(shè)AE的長為x，△EMG的面積為y
（1）求∠MEG的正弦值；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）線段MG的中點記為點P，連接CP，若△PGC∽△EFQ，求y的值．

Answer 1

分析：（1）先過點G作GN⊥AD交AD的延長線于點N，可證得△AEM∽△NMG，得出GN的值，再根據(jù)M是AD的中點，得出AM=1，即可得出

MG

EM

=

GN

MA

的比值，從而得出∠MEG的正切值，根據(jù)勾股定理求出EG，即可求出∠MEG的正弦值；
（2）由（1）知，MG=4EM，在Rt△AEM中，得出MG=4

x2+1

，根據(jù)S_△EMG=

1

2

EM•MG，即可求出函數(shù)解析式，并得出x的取值范圍；
（3）先分別過點P、M作PH、MI垂直BG于點H，I，得出BE、IG、BG、CF、CG、CH的值，即可得出EF=PG，∠F=∠PGC，再根據(jù)△PGC∽△EFQ，得出∠QEF=∠CPG即可得出y的值．

解答：解：（1）過點G作GN⊥AD交AD的延長線于點N，可證得△AEM∽△NMG，
∴

MG

EM

=

GN

MA

，
∴GN=AB=4，
∵M是AD的中點，
∴AM=1，
∴

MG

EM

=

GN

MA

=4，
∵GM⊥EF，
∴在Rt△EMG中，
∴tan∠MEG=

MG

EM

=4；
設(shè)MG=4x，EM=x，在△EMG中，由勾股定理得：EG=

(4x)2+x2

=

17

x，
∴sin∠MEG=

MG

EG

=

4x

17 x

=

4 17

17

，
即∠MEG的正弦值是

4 17

17

；

（2）由（1）知，

MG

EM

=4，即MG=4EM，
∵在Rt△AEM中，EM=

x2+1

，
∴MG=4

x2+1

，
∵S_△EMG=

1

2

EM•MG，
∴y=2x²+2 （

1

4

＜x≤4）；

（3）分別過點P、M作PH、MI垂直BG于點H，I，
∴BE=4-x，IG=4x，
∴BG=4x+1，CF=x+4，CG=4x-1，CH=2x-1，
∴EF=PG，∠F=∠PGC，
∵△PGC∽△EFQ，
∴∠QEF=∠CPG，
則可證：△CPG≌△QEF，
∴QF=CG=4x-1，
∴CQ=CF-QF=5-3x，
可證BE∥CQ，
∴

CG

BG

=

CQ

BE

，即CG•BE=CQ•BG，
∴（4x-1）（4-x）=（5-3x）（4x+1），
解得：x₁=

3

4

2

，x₂=-

3

4

2

（舍去），
∴y=

17

4

；
∴可知y的值是

17

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義分別進行解答．