Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PA、PB、AB、OP，已知PB是⊙O的切線．

(1)求證：∠PBA=∠C；

(2)若OP∥BC，且OP=9，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BC=4．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°，即可求出答案；
（2）求出△ABC∽△PBO，得出比例式，代入求出即可．

(1)連接OB，

∵PB是⊙O的切線，∴PB⊥OB，∴∠PBA+∠OBA=90°，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°，

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAO，∴∠PBA=∠C；

(2)∵⊙O的半徑是3 ，

∴OB=3，AC=6，∵OP∥BC，∴∠BOP=∠OBC，

∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠BOP=∠C，∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，∴=，∴=，∴BC=4．