Question

將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，按如圖①與圖②方式疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，連接CD．
（1）填空：
圖①中CD與AB

 

（填“平行”或“不平行”）；
圖②中CD與AB

 

（填“垂直”或“不垂直”）．并任選一種情況證明．
（2）請寫出圖①中所有的等腰三角形．
（3）若把兩塊三角板按如圖③的方式擺放．已知BC=A₁D=4，試求△AB₁C的面積？

Answer 1

分析：（1）分別證明①CD∥AB和②CD⊥AB；
（2）從圖中找等腰三角形即可；
（3）根據△A₁BC是等邊三角形，即可求得AC，根據面積計算方法求△AB₁C的面積．

解答：解：（1）填空：
圖①中CD與AB平行；圖②中CD與AB垂直．
選①證法：
∵∠CAB=∠DBA，∴AE=EB，
又∵AC=BD，
∴DE=CE，則：∠DCE=∠EDC，而：∠DEC=∠BEA，
∴∠DCE=∠BAE
∴CD∥AB．
選②證法：∵AC=AD且CB=BD，
∴A，B都是CD的垂直平分線上的點
∴CD⊥AB
故答案為 平行，垂直．

（2）△EDC，△EBA，△CDB，△DAC．

（3）∵∠A=∠B₁=30°，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵BC=A₁D=4，
∴△A₁BC是等邊三角形，則：∠ACA₁=90°-∠A₁CB=30°，
∴∠A=30°=∠A₁CA，
∴AA₁=A₁C=4，
∴AB₁=AB+BB₁=8+4=12，
過點C作CE⊥AB，則CE=BC•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴S_△AB1C=

1

2

AB₁•CE=

1

2

×12×2

3

=12

3

．

點評：本題考查了線段平行、垂直的證明，考查了三角形面積的計算，本題證明A₁是AB的中點是解題的關鍵．