Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線y=﹣x﹣3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸交于另一點B

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D是第二象限拋物線上的一個動點，連接AD、BD、CD，當S△ACD=S四邊形ACBD時，求D點坐標；

（3）在（2）的條件下，連接BC，過點D作DE⊥BC，交CB的延長線于點E，點P是第三象限拋物線上的一個動點，點P關于點B的對稱點為點Q，連接QE，延長QE與拋物線在A、D之間的部分交于一點F，當∠DEF+∠BPC=∠DBE時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）（﹣4，5）（3）3+

【解析】試題分析：(1)、首先求出點A和點C的坐標，然后將其代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(2)、首先求出AB的長度，然后根據面積之間的關系得出點E的坐標，從而得出直線CE的函數(shù)解析式，將一次函數(shù)和二次函數(shù)聯(lián)立成方程組，從而得出點D的坐標；(3)、過點D作DN⊥x軸，垂足為N，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，利用待定系數(shù)法求出直線BC和直線DE的函數(shù)解析式，從而求出點E的坐標，利用兩點之間的距離公式得出BC和CE的長度，證明出△PCB和△QEB全等，將y=3代入二次函數(shù)解析式，從而得到點F的坐標，最后求出EF的長度．

試題解析：（1）解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0）．

將A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式的： ，解得： ．

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3

（2）解：如圖1所示： 令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1． ∴AB=4．

∵S△ACD= S四邊形ACBD ， ∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4× = ．

∴點E的坐標為（﹣ ，0）．

設EC的解析式為y=kx+b，將點C和點E的坐標代入得： ，

解得：k=﹣2，b=﹣3． ∴直線CE的解析式為y=﹣2x﹣3．

將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯(lián)立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），

將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5， ∴點D的坐標為（﹣4，5）．

（3）解：如圖2所示：過點D作DN⊥x軸，垂足為N，過點P作PM⊥x軸，垂足為M．

設直線BC的解析式為y=kx+b，將點C和點B的坐標代入得： ，

解得：k=3，b=﹣3， ∴直線BC的解析式為y=3x﹣3．

設直線DE的解析式為y=﹣ x+n，將點D的坐標代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，

解得：n=5﹣ = ． ∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ ，

將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯(lián)立解得：x=2，y=3． ∴點E坐標為（2，3）．

依據兩點間的距離公式可知：BC=CE= ．

∵點P與點Q關于點B對稱， ∴PB=BQ．

在△PCB和△QEB中 ， ∴△PCB≌△QEB．

∴∠BPC=∠Q． 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG

∴∠DBE=∠DGB． 又∵∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．

∵D（﹣4，5），B（1，0）， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°．

∴PM=MB 設點P的坐標為（a，a2+2a﹣3），則BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．

∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）． ∴點P的坐標為（﹣2，3）．

∴PC∥x軸． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC． ∴點E與點F的縱坐標相同．

將y=3代入拋物線的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+（舍去）．

∴點F的坐標為（﹣1 ，3）． ∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+．