Question

如圖，正方形ABCD中，G是BC中點，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F，GN∥DE，M是BC延長線上一點．
（1）求證：△ABF≌△DAE；
（2）尺規(guī)作圖：作∠DCM的平分線，交GN于點H（保留作圖痕跡，不寫作法和證明），試證明GH=AG．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),作圖—復雜作圖

專題：

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得出∠GAB=∠ADE，∠AED=∠BFA=90°，AB=AD進而得出全等三角形即可；
（2）利用角平分線的畫法以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠GAB=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠GAB=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠ADE ∠BFA=∠AED AB=DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）如圖所示：
方法1：作HI⊥BM于點I，
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGI=90°．
∵HI⊥BM，
∴∠GHI+∠HGI=90°，
∴∠AGB=∠GHI．
∵G是BC中點，
∴tan∠AGB=

AB

BG

=2，
∴tan∠GHI=tan∠AGB=

GI

HI

=2，
∴GI=2HI，
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCI=

1

2

∠DCM=45°，
∴CI=HI，
∴CI=CG=BG=HI，
在△ABG和△GIH中，

∠ABG=∠GIH BG=HI ∠AGB=∠GHI

，
∴△ABG≌△GIH（ASA），
∴AG=GH；

方法2：作AB中點P，連結(jié)GP，
∵P、G分別是AB、BC中點 且AB=BC，
∴AP=BP=BG=CG，
∴∠BPG=45°．
∵CH平分∠DCM，
∴∠HCM=

1

2

∠DCM=45°，
∴∠APG=∠HCG=135°．
∵GN∥DE，
∴∠AGH=∠AED=90°，
∴∠AGB+∠HGM=90°，
∵∠BAG+∠AGB=90°，
∴∠BAG=∠HGM．
在△AGP和△GHC中

∠PAG=∠CGH AP=GC ∠AGP=∠GHC

，
∴△AGP≌△GHC（ASA），
∴AG=GH．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的畫法等知識，熟練利用正方形的性質(zhì)得出對應線段和角的關系是解題關鍵．