如圖，當(dāng)x=2時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c取得最小值-1，并且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的右邊）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）D是線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，E為線(xiàn)段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)EF與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)F．問(wèn)：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）由題意可設(shè)拋物線(xiàn)的關(guān)系式為
y=a（x-2）2-1
因?yàn)辄c(diǎn)C（0，3）在拋物線(xiàn)上
所以3=a（0-2）2-1，即a=1
所以，拋物線(xiàn)的關(guān)系式為y=（x-2）2-1=x2-4x+3；

（2）令y=0，即x2-4x+3=0，
得點(diǎn)A（3，0），B（1，0），線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為D（
3
2
，
3
2
）
直線(xiàn)AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3
因?yàn)椤鱋AC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以點(diǎn)D、F為直角頂點(diǎn)．
當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥EF，此時(shí)△DEF∽△ACO，DF所在直線(xiàn)為y=
3
2

由x2-4x+3=
3
2
，
解得x=
4-
10
2
，x=
4+
10
2
＞3（舍去）
將x=
4-
10
2
代入y=-x+3，
得點(diǎn)E(
4-
10
2
，
2+
10
2
)．
當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥AC，此時(shí)△DEF∽△OAC，由于點(diǎn)D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，
因此，DF所在直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)O，其關(guān)系式為y=x．
解x2-4x+3=x，得x=
5-
13
2
，x=
5+
13
2
＞3（舍去）
將x=
5-
13
2
代入y=-x+3，
得點(diǎn)E（
5-
13
2
，
1+
13
2
）．
則E的坐標(biāo)是：（
4-
10
2
，
2+
10
2
）或（
5-
13
2
，
1+
13
2
）．

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(2，
3+
17
2
)，(2，
3-
17
2
)，(2，
1
2
)，(2，
14
2
)，(2，-
14
2
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以BC為直徑的⊙M交x軸正半軸于點(diǎn)A、B，交y軸正半軸于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直y軸，垂足為點(diǎn)D，連接AM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)P，連接PE．
（1）求證：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函數(shù)y=-x2+px+q的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C、E，且以C為頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)等于2時(shí)，四邊形OECB的面積是
11
4
，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸正半軸，與y軸交于點(diǎn)C，且tan∠ACO=
1
2
，CO=BO，AB=3，求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=x2-（m-2）x+m的圖象經(jīng)過(guò)（-1，15），
（1）求m的值；
（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B，圖象上的點(diǎn)C使△ABC的面積等于1，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△ABC的面積大于3時(shí)，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P由C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，已知AC=4cm，BC=12cm，
（1）若記Q點(diǎn)的移動(dòng)時(shí)間為t，試用含有t的代數(shù)式表示Rt△PCQ與四邊形PQBA的面積；
（2）當(dāng)P、Q處在什么位置時(shí)，四邊形PQBA的面積最小，并求最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y1=2x2+
1
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的頂點(diǎn)為M，直線(xiàn)y2=x，點(diǎn)P（n，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)y1=2x2+
1
4
和直線(xiàn)y2=x于點(diǎn)A，點(diǎn)B．
（1）直接寫(xiě)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為d，求d關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式及d的最小值，并直接寫(xiě)出此時(shí)線(xiàn)段OB與線(xiàn)段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a≠0），對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒有x≤y≤2x2+
1
4
，求a，b，c的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，⊙O的半徑為2，C1是函數(shù)的y=
1
2
x2的圖象，C2是函數(shù)的y=-
1
2
x2的圖象，C3是函數(shù)的y=x的圖象，則陰影部分的面積是______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，CF=y，求下列問(wèn)題：
（1）證明△ABE∽△ECF；
（2）求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試求當(dāng)x取何值時(shí)？y有最大或最小值，是多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知AB=2，C是AB上一點(diǎn)，四邊形ACDE和四邊形CBFG，都是正方形，設(shè)BC=x，
（1）AC=______；
（2）設(shè)正方形ACDE和四邊形CBFG的總面積為S，用x表示S的函數(shù)表達(dá)式為S=______．
（3）總面積S有最大值還是最小值？這個(gè)最大值或最小值是多少？
（4）總面積S取最大值或最小值時(shí)，點(diǎn)C在AB的什么位置？

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