Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)，且。
（I）試用含的代數(shù)式表示；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)。

Answer 1

（I）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。
（Ⅲ）證明見解析。解析:

解法一：
（I）依題意，得
由得
（Ⅱ）由（I）得
故
令，則或
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R
③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
綜上：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得
由，得
由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為
所以函數(shù)在處取得極值。
故
所以直線的方程為
由得
令
易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，
故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得，由，得
由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，
故
所以直線的方程為
由得
解得

所以線段與曲線有異于的公共點(diǎn)。